Sur cette page
Un exemple concret
Dans un lycée, 40 % des élèves sont en STMG et 30 % des élèves de STMG font du sport en club. La probabilité qu'un élève soit en STMG et fasse du sport en club est 0,4 × 0,3 = 0,12.
Le piège à éviter
Ne confonds pas P_A(B) et P_B(A) : la probabilité d'être malade sachant que le test est positif n'est pas celle d'avoir un test positif sachant qu'on est malade.
Pour aller plus loin
La notion est liée au pasteur et mathématicien anglais Thomas Bayes, dont les travaux ont été publiés après sa mort en 1763. Sa formule, la formule de Bayes, permet d'inverser un conditionnement : de P_A(B), on déduit P_B(A). Cette idée est à la base de nombreux raisonnements, notamment médicaux. Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches, et la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1. C'est la traduction graphique de P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
La formule des probabilités totales sert à calculer P(B) quand on connaît une partition de l'univers : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B). Prenons un test de dépistage pour une maladie qui touche 1 % de la population : il est positif dans 95 % des cas pour un malade et dans 5 % des cas pour un non-malade. Alors P(positif) = 0,01 × 0,95 + 0,99 × 0,05 = 0,059. La probabilité d'être malade sachant que le test est positif vaut 0,0095 / 0,059 ≈ 0,16. Malgré un bon test, seuls 16 % des positifs sont réellement malades, parce que la maladie est rare.
Ce chapitre figure au programme de Première, en spécialité mathématiques. Il introduit aussi la notion d'indépendance : A et B sont indépendants si P_A(B) = P(B), ce qui équivaut à P(A ∩ B) = P(A) × P(B). La probabilité conditionnelle intervient en économie-gestion, avec les études de marché, en santé avec la lecture des tests, et en assurance avec l'évaluation des risques. Dans les exercices, commence toujours par construire l'arbre, en notant clairement les événements et en plaçant les données de l'énoncé sur les bonnes branches.
Ne pas confondre
- Intersection : P(A ∩ B) est la probabilité que A et B arrivent tous les deux, calculée sur toute la population. P_A(B) se calcule seulement parmi les cas où A est réalisé.
- Indépendance : Deux événements sont indépendants quand savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Cela ne veut pas dire qu'ils sont incompatibles.
- Probabilités totales : C'est une formule pour obtenir P(B) en additionnant les chemins de l'arbre qui mènent à B. Elle ne donne pas de probabilité conditionnelle toute seule.
Dans ta copie
Pour déterminer l'origine probable d'un retour de colis, je construis un arbre pondéré. 70 % des commandes sont passées sur mobile, dont 20 % sont retournées ; les autres commandes sont retournées dans 10 % des cas. D'après la formule des probabilités totales, P(R) = 0,7 × 0,2 + 0,3 × 0,1 = 0,17. La probabilité qu'un colis retourné provienne d'une commande sur mobile est P_R(M) = P(M ∩ R) / P(R) = 0,14 / 0,17 ≈ 0,82. Il est donc très probable qu'un retour provienne d'une commande sur mobile, mais ce n'est pas la même chose que la probabilité de retour pour les commandes sur mobile.
À retenir
- P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), à condition que P(A) soit non nulle.
- Sur un arbre, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
- P_A(B) et P_B(A) sont en général différentes.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
P(A) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Que vaut P_A(B) ?
Voir la réponse
Réponse B. P_A(B) = 0,2 / 0,5 = 0,4.
Mathématiques · question corrigée
On donne P(A) = 0,6, P_A(B) = 0,5 et P_Ā(B) = 0,2. Quelle est la valeur de P(B) ?
Voir la réponse
Réponse B. D'après la formule des probabilités totales, P(B) = 0,6 × 0,5 + 0,4 × 0,2 = 0,30 + 0,08 = 0,38.
Questions fréquentes
Quelle différence entre événements indépendants et incompatibles ?
Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps : P(A ∩ B) = 0. Des événements indépendants peuvent se produire ensemble, et leur probabilité conjointe est le produit des probabilités. Deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.
Pourquoi P_A(B) n'est-elle pas égale à P_B(A) ?
Parce que le conditionnement ne se fait pas sur la même population. Par exemple, la probabilité qu'un joueur de rugby soit un homme n'est pas la probabilité qu'un homme joue au rugby.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.