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Un exemple concret
Une hausse de 20 % puis une baisse de 20 % : 1,2 × 0,8 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %, et non un retour au prix de départ.
Le piège à éviter
Les pourcentages successifs ne s'additionnent pas : on multiplie les coefficients multiplicateurs.
Pour aller plus loin
Le coefficient multiplicateur est le rapport entre la valeur finale et la valeur initiale : CM = VF / VI. Il est lié au taux d'évolution t par CM = 1 + t, où t s'exprime en nombre décimal (pour 20 %, t = 0,20). À l'inverse, t = (VF − VI) / VI. Le coefficient est supérieur à 1 pour une hausse, inférieur à 1 pour une baisse. Le calcul d'une TVA à 20 % en donne une application courante : le prix TTC est le prix HT multiplié par 1,2, donc le prix HT s'obtient en divisant le TTC par 1,2. Pour 60 € TTC, le prix hors taxe est 50 €.
Pour une évolution réciproque, on calcule l'inverse du coefficient. Après une baisse de 20 % (CM = 0,8), il faut une hausse de 1 / 0,8 − 1 = 0,25, soit 25 %, pour retrouver la valeur de départ. Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients : des soldes de 30 % suivies d'une remise supplémentaire de 20 % donnent 0,7 × 0,8 = 0,56, soit une baisse globale de 44 % et non de 50 %. Pour un taux moyen sur n périodes, on prend la racine n-ième du coefficient global : une hausse de 21 % en deux ans correspond à √1,21 = 1,1, soit 10 % par an.
La notion apparaît dès la Seconde avec les pourcentages, puis en Première dans l'étude des évolutions successives et des taux moyens, et en Terminale avec les suites. Les indices en base 100 reposent sur le même principe : un indice de 130 signifie un coefficient multiplicateur de 1,3 par rapport à la base. Elle est incontournable en économie-gestion et en mathématiques de la voie technologique pour traiter la croissance du chiffre d'affaires, l'inflation ou une variation de prix. Ne confonds pas une variation en pourcentage et un écart exprimé en points de pourcentage.
Ne pas confondre
- Taux d'évolution : Le taux t exprime la variation en proportion de la valeur de départ (par exemple +15 %). Le coefficient multiplicateur 1 + t est le nombre par lequel on multiplie.
- Points de pourcentage : Un taux qui passe de 4 % à 6 % augmente de 2 points, mais de 50 % en valeur relative. Les deux expressions ne se confondent pas.
- Indice base 100 : Il fixe la valeur de référence à 100. L'indice à une autre date est égal à 100 multiplié par le coefficient multiplicateur depuis la base.
Dans ta copie
Pour mesurer l'évolution du chiffre d'affaires entre 2020 et 2022, j'utilise les coefficients multiplicateurs. Il a augmenté de 8 % en 2021, soit un coefficient de 1,08, puis de 5 % en 2022, soit un coefficient de 1,05. L'évolution globale se calcule en multipliant ces coefficients : 1,08 × 1,05 = 1,134. Le chiffre d'affaires a donc progressé de 13,4 % sur la période, et non de 13 % comme le donnerait une simple addition. Ce résultat confirme que des pourcentages successifs ne s'additionnent pas, car le second taux s'applique à une valeur déjà modifiée.
À retenir
- CM = 1 + t/100 si t est un pourcentage de hausse ; CM = 1 − t/100 pour une baisse.
- Pour enchaîner des évolutions, on multiplie les coefficients et on ne les additionne pas.
- L'évolution réciproque se calcule avec l'inverse du coefficient.
- Le taux global se déduit de CM global − 1, en convertissant en pourcentage.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Un prix augmente de 10 % deux années de suite. Hausse globale :
Voir la réponse
Réponse B. 1,1 × 1,1 = 1,21, soit une hausse de 21 %.
Mathématiques · question corrigée
Un prix baisse de 25 %. De quel pourcentage faut-il l'augmenter ensuite pour retrouver son prix initial ?
Voir la réponse
Réponse C. La baisse correspond à un coefficient de 0,75. Le coefficient réciproque est 1 / 0,75 ≈ 1,333, ce qui représente une hausse d'environ 33,3 %.
Questions fréquentes
Pourquoi une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène-t-elle pas au prix initial ?
Parce que la baisse s'applique à un prix plus élevé que le prix de départ. Le produit 1,2 × 0,8 vaut 0,96 : le prix final est inférieur de 4 % au prix initial.
Comment retrouver le prix avant une augmentation ?
On divise le prix actuel par le coefficient multiplicateur. Si un article coûte 45 € après une hausse de 25 %, son prix initial était 45 / 1,25 = 36 €. Ne retire jamais 25 % du prix final : ce serait faux.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.