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Un exemple concret
Un capital de 1 000 € placé à 3 % par an : u(n) = 1 000 × 1,03ⁿ. Au bout de 10 ans, u(10) ≈ 1 343,92 €.
Le piège à éviter
Une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre (u(n+1) = u(n) + r) ; une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre.
Pour aller plus loin
Les progressions géométriques sont étudiées depuis l'Antiquité, notamment dans les Éléments d'Euclide. Elles servent à modéliser tout phénomène où la variation est proportionnelle à la valeur actuelle : intérêts composés, dépréciation d'un bien, propagation d'une rumeur. Le sens de variation dépend de la raison q et du premier terme. Pour un premier terme positif : si q > 1, la suite est croissante ; si 0 < q < 1, elle est décroissante ; si q = 1, elle est constante ; si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang et la suite n'est pas monotone.
Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on montre que le quotient u(n+1) / u(n) est constant (ou que u(n+1) = q × u(n) pour tout n). Pour sommer les termes, on utilise la formule 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q), valable pour q différent de 1. Avec q = 2, la somme de 1 à 2⁹ vaut 2¹⁰ − 1 = 1 023. C'est le principe de la célèbre légende de l'échiquier, où l'on place un grain sur la première case et on double à chaque case : le total sur 64 cases serait 2⁶⁴ − 1, soit plus de 18 milliards de milliards de grains.
Les suites géométriques apparaissent en Première, en spécialité mathématiques et en voie technologique, avec les suites arithmétiques ; elles sont retrouvées en Terminale pour étudier leur limite. Un exemple de dépréciation : un véhicule acheté 20 000 € qui perd 15 % de sa valeur chaque année suit une suite géométrique de raison 0,85, ce qui donne u(3) = 20 000 × 0,85³ = 12 282,50 €. Le lien avec les pourcentages est direct : une évolution de t % par période correspond à la raison q = 1 + t/100. C'est le modèle discret de la fonction exponentielle.
Ne pas confondre
- Suite arithmétique : Elle ajoute toujours la même raison r : son évolution est linéaire. Une suite géométrique multiplie, et son évolution est exponentielle.
- Fonction exponentielle : C'est la version continue du phénomène : la variable x est un réel. Une suite géométrique ne prend des valeurs qu'aux rangs entiers n.
- Suite quelconque définie par récurrence : Une relation comme u(n+1) = 2u(n) + 3 n'est pas géométrique : on ajoute 3 après avoir multiplié. Seule la forme u(n+1) = q × u(n) caractérise une suite géométrique.
Dans ta copie
Pour savoir si l'épargne de Léa atteindra 1 500 € avant dix ans, je modélise son capital par une suite géométrique. Chaque année, le capital est multiplié par le coefficient 1,04 : u(n+1) = 1,04 × u(n), avec u(0) = 1 000. Le terme général est donc u(n) = 1 000 × 1,04ⁿ. Je calcule u(10) = 1 000 × 1,04¹⁰, soit environ 1 480 €. Comme ce montant reste inférieur à 1 500 €, l'objectif n'est pas encore atteint au bout de dix ans. Il faudra attendre l'année suivante, puisque la suite est croissante, car sa raison est supérieure à 1.
À retenir
- On passe d'un terme au suivant en multipliant par la raison q : u(n+1) = q × u(n).
- Le terme général est u(n) = u(0) × qⁿ.
- Pour u(0) > 0, la suite est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1.
- Une évolution de t % par période correspond à q = 1 + t/100.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Une suite vérifie u(0) = 5 et u(n+1) = 2 × u(n). Que vaut u(3) ?
Voir la réponse
Réponse C. u(3) = 5 × 2³ = 40.
Mathématiques · question corrigée
Une suite géométrique a pour premier terme u(0) = 80 et pour raison 0,5. Quelle est la valeur de u(4) ?
Voir la réponse
Réponse A. On calcule u(4) = 80 × 0,5⁴ = 80 × 0,0625 = 5. Chaque terme est la moitié du précédent : 80, 40, 20, 10, puis 5.
Questions fréquentes
Comment prouver qu'une suite est géométrique ?
On calcule le quotient u(n+1) / u(n) en le simplifiant et on montre qu'il ne dépend pas de n. On peut aussi écrire u(n+1) sous la forme q × u(n). Quelques valeurs numériques ne constituent pas une preuve.
Que se passe-t-il quand la raison est négative ?
Les termes alternent de signe : positif, négatif, positif… La suite n'est ni croissante ni décroissante. Par exemple avec u(0) = 1 et q = −2, on obtient 1, −2, 4, −8, etc.
Notions liées
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