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Un exemple concret
Pour f(x) = x², f'(x) = 2x. Au point d'abscisse 3, la tangente a pour coefficient directeur f'(3) = 6.
Le piège à éviter
Le signe de f' donne les variations de f : f croissante là où f' est positive, décroissante là où f' est négative.
Pour aller plus loin
L'idée de dérivée est née au XVIIe siècle de deux géniaux rivaux, Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, qui cherchaient l'un à décrire la vitesse instantanée, l'autre à construire des tangentes. La notation f′ qu'on utilise aujourd'hui est due à Lagrange, au XVIIIe siècle ; Leibniz, lui, écrivait dy/dx. Concrètement, le taux d'accroissement entre a et a + h mesure la pente d'une sécante ; quand h tend vers 0, cette sécante devient la tangente. Pour f(x) = x² en a = 3, ce taux vaut (6h + h²) / h = 6 + h, qui tend vers 6.
On n'applique presque jamais la définition : on utilise des formules. (xⁿ)′ = n × xⁿ⁻¹, (k × u)′ = k × u′, (u + v)′ = u′ + v′, (u × v)′ = u′v + uv′, et pour un quotient (u / v)′ = (u′v − uv′) / v². La tangente en a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Pour x², elle vaut y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9. Pour étudier les variations, on calcule f′, on cherche son signe, puis on dresse le tableau. Avec f(x) = x³ − 3x, on obtient f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) : f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], puis croissante sur [1 ; +∞[.
La dérivation est au programme de Première, en spécialité mathématiques comme en voie technologique, et prépare l'étude des fonctions en Terminale. Ses applications sont nombreuses, notamment en économie : le coût marginal est la dérivée du coût total, et on cherche le maximum d'un bénéfice en annulant sa dérivée. En physique, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps. Attention toutefois : une dérivée nulle en un point ne garantit pas un extremum, comme le montre x³ en 0, où f′ s'annule sans changer de signe.
Ne pas confondre
- Taux d'accroissement : C'est la pente entre deux points distincts de la courbe. Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand l'écart h tend vers 0.
- Tangente : C'est une droite, d'équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Le nombre dérivé n'est que son coefficient directeur, c'est-à-dire un nombre.
- Primitive : Elle fait l'opération inverse : une primitive de f est une fonction dont la dérivée est f. Elle n'est définie qu'à une constante près.
Dans ta copie
Pour déterminer la production qui maximise le bénéfice, j'étudie la fonction B(x) = −x² + 40x − 300, définie sur [0 ; 40]. Elle est dérivable et B′(x) = −2x + 40. Cette dérivée est positive pour x < 20 et négative ensuite, donc B est croissante puis décroissante, avec un maximum en x = 20. Je calcule B(20) = −400 + 800 − 300 = 100. L'entreprise réalise donc son bénéfice maximal, égal à 100 unités monétaires, pour une production de 20 unités. L'étude du signe de la dérivée justifie ainsi une décision de gestion.
À retenir
- f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- Le signe de f′ donne le sens de variation de f.
- Un extremum se repère par un changement de signe de f′, pas seulement par f′ = 0.
- L'équation de la tangente en a est y = f′(a)(x − a) + f(a).
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Si f(x) = x³, que vaut f'(2) ?
Voir la réponse
Réponse C. f'(x) = 3x², donc f'(2) = 3 × 4 = 12.
Mathématiques · question corrigée
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d'abscisse 1 ?
Voir la réponse
Réponse D. On a f(1) = 1 et f′(x) = 2x, donc f′(1) = 2. La tangente a pour équation y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
Questions fréquentes
Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?
Non. La fonction valeur absolue est continue en 0 mais sa courbe présente un angle : les pentes à gauche et à droite sont différentes (−1 et 1), donc il n'y a pas de tangente unique. En revanche, une fonction dérivable en un point est toujours continue en ce point.
Si f′(a) = 0, la fonction a-t-elle forcément un extremum en a ?
Non. Pour f(x) = x³, la dérivée 3x² s'annule en 0 mais reste positive de part et d'autre : la fonction est croissante partout. Il faut un changement de signe de la dérivée.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.