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Un exemple concret
La dérivée de x ↦ e^(2x) est x ↦ 2e^(2x). Les croissances exponentielles modélisent par exemple une population de bactéries qui double à intervalles réguliers.
Le piège à éviter
eˣ est toujours strictement positive : l'équation eˣ = −3 n'a pas de solution.
Pour aller plus loin
La constante e doit sa première apparition à Jacob Bernoulli qui, en 1683, étudiait les intérêts composés : en versant l'intérêt de plus en plus souvent, le capital (1 + 1/n)ⁿ tend vers e ≈ 2,718. C'est Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, qui popularise la notation e. La fonction exponentielle vérifie la relation fondamentale e^(a+b) = e^a × e^b, qui entraîne e^(−a) = 1 / e^a, e^(a−b) = e^a / e^b et (e^a)ⁿ = e^(na). Ces règles transforment les produits en sommes, comme les puissances.
Pour dériver, on retient (e^u)′ = u′ × e^u. Ainsi, (e^(3x))′ = 3 e^(3x). Résoudre une équation revient à utiliser la stricte croissance : e^a = e^b équivaut à a = b, et e^a < e^b à a < b. Pour e^(2x) = 5, il faut le logarithme népérien, qui apparaît en Terminale : x = ln 5 / 2 ≈ 0,805. Les limites à connaître sont lim e^x = 0 en −∞ et lim e^x = +∞ en +∞. Enfin, les solutions de l'équation différentielle y′ = k × y sont les fonctions x ↦ C × e^(kx), ce qui explique pourquoi l'exponentielle modélise tant de phénomènes naturels.
L'exponentielle est introduite en Première spécialité mathématiques, puis approfondie en Terminale avec les limites, la croissance comparée et le logarithme. Elle apparaît partout dans les sciences : la décroissance radioactive suit N(t) = N₀ e^(−λt). Pour le carbone 14, dont la demi-vie est d'environ 5 730 ans, la constante vaut λ = ln 2 / 5 730 ≈ 1,21 × 10⁻⁴ par an. Elle modélise aussi le refroidissement d'un liquide ou la charge d'un condensateur. Retiens enfin la nuance entre l'exponentielle de base e et une fonction comme 2^x, qui s'en déduit par 2^x = e^(x ln 2).
Ne pas confondre
- Fonction puissance : Dans x², la variable est la base et l'exposant est fixe. Dans e^x, c'est l'exposant qui varie. Leur dérivée et leur croissance sont très différentes.
- Logarithme népérien : C'est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(e^x) = x. Elle n'est définie que pour les réels strictement positifs.
- Suite géométrique : C'est le modèle discret de la même croissance. Une suite géométrique est définie sur les entiers, l'exponentielle sur tous les réels.
Dans ta copie
Pour étudier les variations de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x × e^x, je la dérive comme un produit : f′(x) = 1 × e^x + x × e^x = (1 + x) e^x. Comme l'exponentielle est strictement positive, le signe de f′(x) est celui de 1 + x. La fonction est donc décroissante sur ]−∞ ; −1] et croissante sur [−1 ; +∞[. Elle admet un minimum en x = −1, égal à f(−1) = −1/e ≈ −0,37. Cette étude montre que l'on peut conclure sans calcul compliqué dès que l'on sait que e^x > 0 pour tout réel x.
À retenir
- exp est dérivable sur ℝ, égale à sa dérivée, strictement positive et strictement croissante.
- e^(a+b) = e^a × e^b et e^(−a) = 1 / e^a.
- (e^u)′ = u′ × e^u pour une fonction u dérivable.
- Comme e^x > 0, le signe d'un produit avec e^x ne dépend que de l'autre facteur.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?
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Réponse C. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.
Mathématiques · question corrigée
Pour tout réel x, l'expression e^(3x + 1) / e^(x − 2) est égale à :
Voir la réponse
Réponse D. Le quotient de deux exponentielles correspond à la différence des exposants : (3x + 1) − (x − 2) = 2x + 3. On obtient donc e^(2x + 3).
Questions fréquentes
Pourquoi e^x est-elle toujours strictement positive ?
Parce que e^x × e^(−x) = e⁰ = 1. Le produit de deux nombres vaut 1, donc aucun d'eux ne peut être nul. Comme la fonction est continue et vaut 1 en 0, elle ne devient jamais négative.
Quelle est la différence entre e^x et 2^x ?
Les deux sont exponentielles mais e^x a une propriété unique : elle est sa propre dérivée. La fonction 2^x a pour dérivée ln 2 × 2^x, ce qui est moins pratique à utiliser.
Notions liées
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