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Un exemple concret
Une partie coûte 2 €. On gagne 10 € avec une probabilité de 0,1, et 3 € avec une probabilité de 0,2. Le gain net X vaut 8, 1 ou −2 avec les probabilités 0,1 ; 0,2 et 0,7. E(X) = 0,8 + 0,2 − 1,4 = −0,4 € : le jeu est défavorable au joueur.
Le piège à éviter
L'espérance n'est pas forcément une valeur que X peut prendre : aucune partie ne rapporte exactement −0,4 €. C'est une moyenne théorique sur un grand nombre de parties, pas le résultat le plus probable.
Pour aller plus loin
Avant tout calcul d'espérance, on établit la loi de probabilité de X : un tableau qui associe à chaque valeur possible sa probabilité. On vérifie que la somme des probabilités vaut 1. L'espérance est ensuite une moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Dans un jeu d'argent, on dit que le jeu est favorable au joueur si E(X) > 0, défavorable si E(X) < 0, et équitable si E(X) = 0.
L'espérance s'accompagne d'indicateurs de dispersion. La variance mesure l'écart moyen au carré : V(X) = somme des pi × (xi − E(X))², ou plus rapidement V(X) = E(X²) − E(X)². L'écart-type est σ(X) = √V(X). Calcul détaillé pour X prenant les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilités 0,5 ; 0,3 et 0,2 : E(X) = 0,7 et E(X²) = 0² × 0,5 + 1² × 0,3 + 2² × 0,2 = 0,3 + 0,8 = 1,1. Donc V(X) = 1,1 − 0,49 = 0,61 et σ(X) = √0,61 ≈ 0,78.
Deux propriétés de linéarité sont utiles : E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X). Si un organisateur double tous les gains puis retire 1 € à chaque partie, l'espérance devient 2E(X) − 1 sans refaire le tableau. Les variables aléatoires sont étudiées en spécialité de Première, puis approfondies en Terminale avec la loi binomiale, dont l'espérance vaut np. La loi des grands nombres justifie l'interprétation de l'espérance comme moyenne à long terme.
Ne pas confondre
- Moyenne statistique : La moyenne se calcule sur des données observées ; l'espérance se calcule à partir de probabilités théoriques. La première se rapproche de la seconde quand le nombre d'expériences augmente.
- Variance : L'espérance indique une valeur centrale ; la variance mesure la dispersion des valeurs autour de cette espérance.
Dans ta copie
Je note X le gain algébrique du joueur. Les valeurs possibles sont 8, 1 et −2, avec les probabilités 0,1 ; 0,2 et 0,7, dont la somme vaut bien 1. L'espérance vaut E(X) = 8 × 0,1 + 1 × 0,2 + (−2) × 0,7 = 0,8 + 0,2 − 1,4 = −0,4. L'espérance est négative : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 0,40 € par partie. Le jeu est donc défavorable au joueur et rentable pour l'organisateur.
À retenir
- E(X) est la somme des valeurs de X pondérées par leurs probabilités.
- Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est nulle.
- V(X) = E(X²) − E(X)² et l'écart-type est la racine carrée de la variance.
- E(aX + b) = aE(X) + b.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilités 0,5 ; 0,3 et 0,2. E(X) vaut :
Voir la réponse
Réponse B. E(X) = 0 × 0,5 + 1 × 0,3 + 2 × 0,2 = 0 + 0,3 + 0,4 = 0,7.
Mathématiques · question corrigée
Un jeu de hasard est dit équitable lorsque :
Voir la réponse
Réponse D. Un jeu équitable ne favorise ni le joueur ni l'organisateur en moyenne : l'espérance du gain algébrique vaut 0.
Questions fréquentes
Faut-il tenir compte de la mise dans le gain ?
Oui, si l'énoncé parle de gain algébrique ou de gain net. On soustrait alors la mise à chaque gain brut, ce qui donne des valeurs négatives pour les parties perdues.
Comment calculer l'espérance à la calculatrice ?
On entre les valeurs dans une liste et les probabilités dans une autre, puis on lance les statistiques à deux listes : la moyenne affichée est l'espérance. Pense à écrire le calcul sur ta copie.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.