Sur cette page
Un exemple concret
Un QCM compte 4 questions à 4 choix et un élève répond au hasard. Le nombre X de bonnes réponses suit B(4 ; 0,25). P(X = 2) = 6 × 0,25² × 0,75² = 6 × 0,0625 × 0,5625 = 0,2109375, soit environ 0,211.
Le piège à éviter
La loi binomiale exige des épreuves indépendantes et de même probabilité. Des tirages sans remise dans une petite urne ne suivent pas une loi binomiale, car la composition change à chaque tirage.
Pour aller plus loin
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès, de probabilité p, et échec, de probabilité 1 − p. En la répétant n fois de façon indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli, qu'on représente par un arbre. Chaque chemin comportant exactement k succès a pour probabilité p^k × (1 − p)^(n − k). Le coefficient binomial (k parmi n) compte ces chemins ; il vaut n! / (k! × (n − k)!). Par exemple, (2 parmi 4) = 24 / (2 × 2) = 6.
L'espérance et la variance ont des formules directes : E(X) = np et V(X) = np(1 − p), donc σ(X) = √(np(1 − p)). Pour l'élève qui répond au hasard au QCM de 4 questions, E(X) = 4 × 0,25 = 1 : il obtient en moyenne une bonne réponse. Sa variance vaut 4 × 0,25 × 0,75 = 0,75. Un calcul très fréquent concerne « au moins un succès » : on passe par l'événement contraire. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,75⁴ = 1 − 0,31640625 = 0,68359375, soit environ 0,684.
Pour les probabilités cumulées P(X ≤ k), on utilise la calculatrice, qui propose une fonction pour P(X = k) et une autre pour P(X ≤ k) ; le nom exact dépend du modèle. On en déduit P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1), une transformation souvent attendue dans les sujets. La loi binomiale est au cœur du chapitre de probabilités de la spécialité de Terminale. Elle prépare aussi l'étude des sommes de variables aléatoires et de la concentration autour de l'espérance quand n devient grand.
Ne pas confondre
- Épreuve de Bernoulli : L'épreuve de Bernoulli est une seule expérience à deux issues ; la loi binomiale décrit le nombre de succès sur n répétitions de cette épreuve.
- Loi uniforme : Dans une loi uniforme, toutes les valeurs ont la même probabilité ; dans une loi binomiale, les valeurs proches de np sont les plus probables.
Dans ta copie
On répète 20 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : la pièce est défectueuse, avec une probabilité de 0,05, ou elle ne l'est pas. La variable X qui compte le nombre de pièces défectueuses suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,05. La probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse vaut P(X = 0) = 0,95^20, soit environ 0,358. En moyenne, on peut s'attendre à E(X) = 20 × 0,05 = 1 pièce défectueuse par lot.
À retenir
- La loi binomiale compte les succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes.
- P(X = k) = (k parmi n) × p^k × (1 − p)^(n − k).
- E(X) = np et V(X) = np(1 − p).
- Pour « au moins un succès », on calcule 1 − P(X = 0).
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
X suit la loi binomiale B(10 ; 0,3). Que vaut l'espérance E(X) ?
Voir la réponse
Réponse D. E(X) = np = 10 × 0,3 = 3. La valeur 2,1 est la variance np(1 − p).
Mathématiques · question corrigée
X suit la loi binomiale B(3 ; 0,5). Que vaut P(X ≥ 1) ?
Voir la réponse
Réponse B. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,5³ = 1 − 0,125 = 0,875.
Questions fréquentes
Comment justifier qu'une variable suit une loi binomiale ?
Il faut citer trois éléments : une épreuve à deux issues de probabilité de succès p, répétée n fois de façon identique et indépendante, et X qui compte le nombre de succès. Donne ensuite les valeurs de n et de p.
Un tirage sans remise peut-il être modélisé par une loi binomiale ?
Pas exactement. Mais quand on tire un petit nombre d'éléments dans une très grande population, l'énoncé autorise souvent à assimiler le tirage à un tirage avec remise ; dans ce cas, la loi binomiale devient un bon modèle.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.