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Un exemple concret
Avec u(3 ; −2) et v(4 ; 6) : u · v = 3 × 4 + (−2) × 6 = 12 − 12 = 0, donc u et v sont orthogonaux. Avec w(1 ; 5), u · w = 3 − 10 = −7 : le produit est négatif, l'angle entre u et w est obtus.
Le piège à éviter
Le produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur. On n'écrit pas u · v = (12 ; −12) : on multiplie les coordonnées deux à deux, puis on additionne les deux produits.
Pour aller plus loin
Il existe plusieurs expressions du produit scalaire, à choisir selon les données. Avec les normes et l'angle : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ). Avec les coordonnées dans un repère orthonormé : xx' + yy'. Avec un projeté orthogonal : si H est le projeté de C sur la droite (AB), alors AB · AC = AB · AH, ce qui vaut AB × AH si les vecteurs sont de même sens et −AB × AH sinon. Enfin, u · u = ‖u‖², ce qui relie le produit scalaire aux longueurs.
Le produit scalaire est symétrique et se développe comme un produit ordinaire : (u + v) · (u + v) = ‖u‖² + 2u · v + ‖v‖². On en tire la formule d'Al-Kashi dans un triangle ABC : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â). Calcul détaillé avec AB = 5, AC = 8 et  = 60° : BC² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × 0,5 = 89 − 40 = 49, donc BC = 7. Quand l'angle est droit, le cosinus est nul et on retrouve le théorème de Pythagore.
Ce chapitre de géométrie de la spécialité de Première sert surtout à prouver des orthogonalités et à écrire des équations. Un vecteur n(a ; b) est normal à une droite s'il est orthogonal à ses vecteurs directeurs ; la droite a alors une équation de la forme ax + by + c = 0. Le produit scalaire permet aussi de caractériser un cercle de diamètre [AB] : c'est l'ensemble des points M tels que MA · MB = 0. En Terminale, la même notion s'étend à l'espace avec trois coordonnées.
Ne pas confondre
- Colinéarité : Deux vecteurs colinéaires ont des directions parallèles, ce qu'on teste avec xy' − x'y = 0 ; un produit scalaire nul traduit au contraire l'orthogonalité.
- Norme d'un vecteur : La norme est une longueur, toujours positive ; le produit scalaire de deux vecteurs différents peut être négatif. Le lien est u · u = ‖u‖².
Dans ta copie
Pour montrer que le triangle ABC est rectangle en A, je calcule le produit scalaire des vecteurs AB et AC. Avec A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(0 ; 5), on obtient AB(3 ; 1) et AC(−1 ; 3). Le repère étant orthonormé, AB · AC = 3 × (−1) + 1 × 3 = −3 + 3 = 0. Le produit scalaire est nul et les vecteurs ne sont pas nuls, donc ils sont orthogonaux. Le triangle ABC est bien rectangle en A.
À retenir
- Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur.
- En repère orthonormé, u · v = xx' + yy'.
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
- La formule d'Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore à tout triangle.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Dans un repère orthonormé, u(2 ; −1) et v(3 ; 4). Que vaut u · v ?
Voir la réponse
Réponse A. u · v = 2 × 3 + (−1) × 4 = 6 − 4 = 2.
Mathématiques · question corrigée
Si ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 3 et si l'angle entre u et v mesure 60°, alors u · v vaut :
Voir la réponse
Réponse C. u · v = 4 × 3 × cos(60°) = 12 × 0,5 = 6. La valeur 6√3 correspondrait à un sinus, et 12 oublie le cosinus.
Questions fréquentes
Peut-on utiliser la formule xx' + yy' dans n'importe quel repère ?
Non, seulement dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, la formule n'est plus valable : vérifie toujours cette condition dans l'énoncé.
Comment trouver un angle avec le produit scalaire ?
On calcule u · v avec les coordonnées, puis les normes, et on isole cos(θ) = u · v / (‖u‖ × ‖v‖). La calculatrice donne ensuite l'angle avec la touche arccos.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.