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Un exemple concret
Avec A(1 ; 4) et B(3 ; −2) : m = (−2 − 4) / (3 − 1) = −6 / 2 = −3. Puis 4 = −3 × 1 + p donne p = 7. La droite (AB) a pour équation y = −3x + 7 ; elle descend de 3 unités quand x augmente de 1.
Le piège à éviter
Garde le même ordre en haut et en bas : (yB − yA) / (xB − xA). Mélanger les ordres change le signe du résultat. Une droite verticale, d'équation x = c, n'a pas de coefficient directeur.
Pour aller plus loin
Graphiquement, on lit le coefficient directeur en partant d'un point de la droite : on avance d'une unité vers la droite, puis on compte de combien il faut monter ou descendre pour retrouver la droite. Si m > 0, la droite monte et la fonction affine associée est croissante ; si m < 0, elle descend ; si m = 0, elle est horizontale. Le nombre p, appelé ordonnée à l'origine, se lit à l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
Le coefficient directeur fait le lien avec la dérivation : le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Cette tangente a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a). Calcul détaillé pour f(x) = x² en a = 3 : f(3) = 9 et f'(3) = 2 × 3 = 6, donc y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 18 + 9 = 6x − 9.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients m et m' sont perpendiculaires lorsque m × m' = −1. Ces lectures font partie des automatismes de Première, évalués sans calculatrice, et servent en voie technologique pour interpréter un taux de variation : si un coût augmente de 12 € par unité produite, le coefficient directeur vaut 12 et s'exprime en euros par unité.
Ne pas confondre
- Ordonnée à l'origine : L'ordonnée à l'origine p est la valeur de y quand x = 0 ; le coefficient directeur m indique de combien y varie quand x augmente de 1.
- Nombre dérivé : Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur d'une tangente à une courbe ; pour une droite, le coefficient directeur est le même en tout point.
Dans ta copie
Je détermine l'équation de la droite (d) passant par A(−1 ; 5) et B(2 ; −1). Les abscisses sont différentes, donc la droite n'est pas verticale et admet une équation réduite y = mx + p. Son coefficient directeur vaut m = (−1 − 5) / (2 − (−1)) = −6 / 3 = −2. Comme A appartient à (d), on a 5 = −2 × (−1) + p, donc p = 3. La droite (d) a pour équation y = −2x + 3. Vérification avec B : −2 × 2 + 3 = −1.
À retenir
- m = (yB − yA) / (xB − xA) pour deux points d'abscisses différentes.
- Quand x augmente de 1, y varie de m.
- Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
- Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en a.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
La droite passant par A(0 ; 1) et B(2 ; 7) a pour coefficient directeur :
Voir la réponse
Réponse D. m = (7 − 1) / (2 − 0) = 6 / 2 = 3. La réponse 1/3 inverse le quotient, et 6 oublie de diviser par l'écart des abscisses.
Mathématiques · question corrigée
Les droites d'équations y = 2x − 5 et y = 2x + 1 sont :
Voir la réponse
Réponse B. Elles ont le même coefficient directeur, 2, mais des ordonnées à l'origine différentes : elles sont parallèles et distinctes.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre pente et coefficient directeur ?
Dans le langage courant, la pente désigne souvent la même chose. En mathématiques, on parle de coefficient directeur ; une pente de 10 % sur une route correspond à un coefficient directeur de 0,1.
Comment trouver p sans calcul ?
Si la droite coupe l'axe des ordonnées sur le graphique, p se lit directement à ce point d'intersection. Sinon, remplace x et y par les coordonnées d'un point connu dans y = mx + p.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.