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Un exemple concret
Un abonnement coûte 30 € le premier mois puis augmente de 2 € chaque mois. Avec u_1 = 30 et r = 2, le douzième mois coûte u_12 = 30 + 11 × 2 = 52 €. Sur l'année, la somme payée vaut 12 × (30 + 52) / 2 = 492 €.
Le piège à éviter
Quand le premier terme est u_1, le terme général devient u_n = u_1 + (n − 1) × r, et non u_1 + n × r. Ce décalage d'indice coûte des points dans beaucoup de copies.
Pour aller plus loin
Pour prouver qu'une suite est arithmétique, on calcule la différence u_(n+1) − u_n. Si elle est constante, égale à un réel r indépendant de n, la suite est arithmétique de raison r. Le signe de r donne directement le sens de variation : la suite est croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0. Si r > 0, elle tend vers +∞ ; si r < 0, elle tend vers −∞.
Deux formules sont à connaître. Le terme général, à partir de n'importe quel rang p : u_n = u_p + (n − p) × r. La somme de termes consécutifs : nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2. Cas particulier célèbre : 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2. Exemple détaillé avec u_0 = 5 et r = 4 : u_20 = 5 + 20 × 4 = 85. La somme u_0 + u_1 + … + u_20 compte 21 termes, elle vaut donc 21 × (5 + 85) / 2 = 21 × 45 = 945.
La suite arithmétique est le modèle discret de la croissance linéaire : chaque période ajoute la même quantité, comme une fonction affine dont on ne regarde que les valeurs entières. Elle s'étudie dans le chapitre des suites en Première, en spécialité comme en mathématiques de la voie technologique, où on l'oppose à la suite géométrique, modèle de la croissance exponentielle. Au bac, on te demande souvent de reconnaître le modèle adapté à une situation concrète : une augmentation de tant d'euros par an est arithmétique, une augmentation de tant de pourcents par an est géométrique.
Ne pas confondre
- Suite géométrique : Dans une suite géométrique, on multiplie par la raison q à chaque étape ; dans une suite arithmétique, on ajoute la raison r.
- Fonction affine : La fonction affine f(x) = mx + p est définie pour tout réel x ; la suite arithmétique n'est définie que pour des entiers naturels n.
Dans ta copie
La situation se modélise par une suite arithmétique, car le loyer augmente chaque année du même montant de 240 €. On pose u_0 = 6 000, le loyer annuel initial, et la raison r = 240. Pour tout entier n, u_n = 6 000 + 240n. En 2031, soit pour n = 6, le loyer annuel vaudra u_6 = 6 000 + 240 × 6 = 7 440 €. Comme la raison est positive, la suite est croissante : le loyer ne cessera d'augmenter tant que le contrat reste inchangé.
À retenir
- Une suite est arithmétique si u_(n+1) − u_n est une constante r.
- Le terme général s'écrit u_n = u_0 + n × r ou u_n = u_1 + (n − 1) × r.
- La somme de termes consécutifs vaut nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
- Une raison positive donne une suite croissante, une raison négative une suite décroissante.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
La suite définie par u_0 = 7 et u_(n+1) = u_n − 3 vérifie :
Voir la réponse
Réponse C. C'est une suite arithmétique de raison −3, donc u_10 = 7 + 10 × (−3) = 7 − 30 = −23.
Mathématiques · question corrigée
Quelle est la valeur de la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 ?
Voir la réponse
Réponse A. On applique n(n + 1) / 2 avec n = 100 : 100 × 101 / 2 = 5 050.
Questions fréquentes
Comment savoir si je dois commencer à u_0 ou à u_1 ?
C'est l'énoncé qui fixe le premier indice. Relis la définition de la suite : si l'année initiale correspond à n = 0, le premier terme est u_0. Adapte ensuite la formule du terme général à ce choix.
Comment compter le nombre de termes d'une somme ?
De u_p à u_n, il y a n − p + 1 termes. Par exemple, de u_0 à u_20, il y en a 21, pas 20. C'est une erreur fréquente dans les calculs de somme.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.