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Un exemple concret
Soit u_n = (3n + 1) / (n + 2). En factorisant par n : u_n = (3 + 1/n) / (1 + 2/n). Quand n tend vers +∞, 1/n et 2/n tendent vers 0, donc u_n tend vers 3/1 = 3. La suite converge vers 3.
Le piège à éviter
Une suite croissante ne tend pas forcément vers +∞ : elle peut converger. La suite u_n = 1 − 1/n, définie pour n ≥ 1, est croissante et converge pourtant vers 1.
Pour aller plus loin
On distingue trois comportements. Une suite convergente se rapproche d'un réel ℓ aussi près qu'on veut. Une suite tend vers +∞ si tout intervalle [A ; +∞[ contient tous ses termes à partir d'un certain rang, quel que soit le réel A. Enfin, certaines suites n'ont pas de limite, comme u_n = (−1)^n, qui oscille entre −1 et 1. Pour les suites géométriques, retiens : si q > 1, q^n tend vers +∞ ; si −1 < q < 1, q^n tend vers 0.
Pour calculer une limite, on combine les opérations sur les limites. Les formes indéterminées sont « ∞ − ∞ », « ∞ / ∞ », « 0 × ∞ » et « 0 / 0 » : on les lève en factorisant par le terme dominant. On peut aussi comparer : si u_n ≥ v_n et si v_n tend vers +∞, alors u_n tend vers +∞. Le théorème des gendarmes encadre la suite : comme −1/n ≤ (−1)^n / n ≤ 1/n et que les deux bornes tendent vers 0, la suite (−1)^n / n converge vers 0.
Le théorème de convergence monotone affirme qu'une suite croissante et majorée converge, de même qu'une suite décroissante et minorée. Pour une suite récurrente u_(n+1) = f(u_n) qui converge vers ℓ, avec f continue, la limite vérifie ℓ = f(ℓ). Calcul détaillé : si u_(n+1) = 0,5u_n + 3 converge, alors ℓ = 0,5ℓ + 3, donc 0,5ℓ = 3 et ℓ = 6. Ce chapitre ouvre souvent l'année de spécialité de Terminale et revient dans presque tous les exercices de suites.
Ne pas confondre
- Majorant : Un majorant est une valeur que la suite ne dépasse jamais ; la limite est la valeur dont elle s'approche. Une suite majorée par 10 peut converger vers 4.
- Suite monotone : La monotonie indique le sens de variation ; elle ne dit rien seule de la limite. Il faut une borne en plus pour conclure à la convergence.
Dans ta copie
On a montré par récurrence que la suite (u_n) est croissante et que, pour tout entier n, u_n ≤ 6. La suite est donc croissante et majorée : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ. Comme u_(n+1) = 0,5u_n + 3 et que la fonction x ↦ 0,5x + 3 est continue, la limite vérifie ℓ = 0,5ℓ + 3. On en déduit 0,5ℓ = 3, donc ℓ = 6. La suite converge vers 6, ce qui est cohérent avec le majorant trouvé.
À retenir
- Une suite converge si ses termes s'approchent d'un réel ℓ à partir d'un certain rang.
- Si −1 < q < 1, q^n tend vers 0 ; si q > 1, q^n tend vers +∞.
- Une suite croissante et majorée converge.
- Le théorème des gendarmes permet de conclure par encadrement.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Quelle est la limite de la suite définie par u_n = 0,9^n ?
Voir la réponse
Réponse D. Pour −1 < q < 1, q^n tend vers 0. Ici q = 0,9, donc la suite converge vers 0.
Mathématiques · question corrigée
Une suite croissante et majorée par 5 :
Voir la réponse
Réponse A. Le théorème de convergence monotone assure la convergence, et la limite est inférieure ou égale à 5, sans être forcément égale à 5.
Questions fréquentes
Le théorème de convergence monotone donne-t-il la valeur de la limite ?
Non, il prouve seulement que la limite existe. Pour la trouver, on utilise ensuite une autre méthode, par exemple la relation ℓ = f(ℓ) pour une suite récurrente.
Comment lever une forme indéterminée ∞ / ∞ ?
On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis on simplifie. Les termes restants du type 1/n tendent vers 0.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.