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Un exemple concret
Un capital placé à 4 % par an double dès que 1,04^n ≥ 2. En appliquant ln : n × ln(1,04) ≥ ln(2), donc n ≥ ln(2) / ln(1,04) ≈ 17,7. Il faut attendre 18 années complètes.
Le piège à éviter
ln(a + b) n'est pas égal à ln(a) + ln(b) : la propriété fondamentale porte sur le produit. N'oublie pas non plus que ln n'est défini que pour des nombres strictement positifs.
Pour aller plus loin
Les valeurs de base sont ln(1) = 0 et ln(e) = 1. La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est x ↦ 1/x, qui est positive : ln est donc strictement croissante. Elle est négative sur ]0 ; 1[ et positive sur ]1 ; +∞[. Ses limites sont −∞ en 0 et +∞ en +∞. Sa courbe est symétrique de celle de l'exponentielle par rapport à la droite d'équation y = x.
Des propriétés algébriques découlent de ln(ab) = ln(a) + ln(b) : ln(a/b) = ln(a) − ln(b), ln(a^n) = n × ln(a) pour tout entier n, et ln(√a) = ½ ln(a). Elles servent surtout à résoudre des inéquations où l'inconnue est en exposant. Calcul détaillé : chercher le plus petit entier n tel que 0,8^n < 0,01. On applique ln, qui conserve l'ordre : n × ln(0,8) < ln(0,01). Comme ln(0,8) est négatif, diviser change le sens : n > ln(0,01) / ln(0,8) ≈ 20,6. Le plus petit entier convenable est donc n = 21.
La fonction ln est étudiée dans la spécialité de Terminale, juste après l'exponentielle. On y apprend aussi les croissances comparées : ln(x) / x tend vers 0 en +∞, ce qui signifie que ln croît beaucoup plus lentement que x. Dans les problèmes, ln intervient pour des durées de doublement, des demi-vies ou des seuils sur des suites géométriques. La forme composée ln(u) se dérive en u'/u, à condition que u soit strictement positive.
Ne pas confondre
- Fonction exponentielle : L'exponentielle est définie sur ℝ et transforme les sommes en produits ; ln est définie sur ]0 ; +∞[ et transforme les produits en sommes. Chacune défait l'autre.
- Logarithme décimal : Le logarithme décimal log vérifie log(10) = 1, alors que ln vérifie ln(e) = 1 ; on passe de l'un à l'autre par log(x) = ln(x) / ln(10).
Dans ta copie
Je cherche à partir de quelle année la population dépasse 15 000 habitants, sachant que P_n = 10 000 × 1,03^n. Je résous 10 000 × 1,03^n > 15 000, soit 1,03^n > 1,5. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc l'inégalité équivaut à n × ln(1,03) > ln(1,5). Comme ln(1,03) est strictement positif, j'obtiens n > ln(1,5) / ln(1,03), soit environ 13,7. La population dépassera donc 15 000 habitants à partir de n = 14, c'est-à-dire la quatorzième année.
À retenir
- ln est définie sur ]0 ; +∞[ et ln(e^x) = x pour tout réel x.
- ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(a^n) = n × ln(a).
- La dérivée de ln est 1/x et la fonction est strictement croissante.
- Diviser par un logarithme négatif change le sens d'une inégalité.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Quelle est la solution de l'équation e^x = 5 ?
Voir la réponse
Réponse C. La fonction ln est la réciproque de l'exponentielle : e^x = 5 équivaut à x = ln(5).
Mathématiques · question corrigée
Que vaut ln(8) − ln(2) ?
Voir la réponse
Réponse A. ln(8) − ln(2) = ln(8/2) = ln(4) = ln(2²) = 2 ln(2). Le piège ln(6) confond quotient et différence.
Questions fréquentes
Pourquoi dit-on logarithme « népérien » ?
Le nom rend hommage au mathématicien écossais John Napier, dont le nom est francisé en Neper, qui a inventé les logarithmes au début du XVIIe siècle pour simplifier les calculs astronomiques.
Comment résoudre ln(x) = 3 ?
On applique l'exponentielle aux deux membres : x = e³. Vérifie que la solution appartient bien à l'ensemble de définition, ici ]0 ; +∞[.
Notions liées
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