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Un exemple concret
Un chiffre d'affaires passe de 200 000 € à 250 000 € en 3 ans. Le coefficient global vaut 250 000 / 200 000 = 1,25. Le taux annuel moyen vaut 1,25^(1/3) − 1 ≈ 1,0772 − 1 = 0,0772, soit une hausse d'environ 7,72 % par an.
Le piège à éviter
On ne divise pas le taux global par le nombre de périodes : 25 % en 3 ans ne donne pas 8,33 % par an, car les évolutions successives se composent par multiplication, pas par addition.
Pour aller plus loin
Le calcul repose sur les coefficients multiplicateurs : une évolution de taux t correspond à une multiplication par 1 + t, et des évolutions successives se cumulent en multipliant leurs coefficients. Calcul détaillé : une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 10 % donne un coefficient global de 1,2 × 0,9 = 1,08, soit une hausse globale de 8 %. Le taux moyen sur les deux périodes vaut √1,08 − 1 ≈ 1,0392 − 1 = 0,0392, soit environ 3,92 % par période, et non 5 %.
Le passage par la racine n-ième est l'outil clé. Pour un réel a strictement positif, a^(1/n) est l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut a. À la calculatrice, on tape 1.25^(1/3) en gardant bien les parenthèses autour de l'exposant. On peut vérifier le résultat : 1,0772³ ≈ 1,2499, ce qui redonne bien le coefficient global de 1,25 à l'arrondi près. Le taux moyen peut être négatif : une baisse globale de 36 % en deux ans correspond à 0,64^(1/2) = 0,8, soit −20 % par an.
Cette notion figure dans le programme de mathématiques de Terminale de la voie technologique, avec les fonctions x ↦ x^a. Elle sert aussi en économie, en gestion et en mercatique sous le nom de taux de croissance annuel moyen, pour comparer des évolutions sur des durées différentes. En spécialité mathématiques, on obtient le même résultat avec le logarithme : t = e^(ln(CM) / n) − 1.
Ne pas confondre
- Taux d'évolution global : Le taux global mesure la variation totale entre le début et la fin ; le taux moyen est le taux constant par période qui produirait ce même résultat.
- Moyenne arithmétique des taux : Faire la moyenne des taux annuels, en les additionnant puis en divisant, donne un résultat faux : seule la moyenne géométrique des coefficients convient.
Dans ta copie
Le nombre d'abonnés est passé de 40 000 à 52 000 en 4 ans. Le coefficient multiplicateur global vaut 52 000 / 40 000 = 1,3. Je note t le taux d'évolution annuel moyen ; il vérifie (1 + t)⁴ = 1,3, donc 1 + t = 1,3^(1/4) ≈ 1,0678. Le taux annuel moyen est donc d'environ 6,78 %. Je vérifie : 1,0678⁴ ≈ 1,300. Cette progression régulière est inférieure au quart de la hausse globale de 30 %, soit 7,5 %, car les hausses se cumulent d'année en année.
À retenir
- Le taux moyen t vérifie (1 + t)^n = coefficient multiplicateur global.
- On calcule t = CM^(1/n) − 1 en gardant les parenthèses à la calculatrice.
- Diviser le taux global par n donne un résultat faux.
- Un taux moyen négatif traduit une baisse moyenne par période.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Un prix augmente de 21 % en deux ans. Son taux d'évolution annuel moyen est de :
Voir la réponse
Réponse C. Le coefficient global vaut 1,21 et 1,21^(1/2) = 1,1, car 1,1² = 1,21. Le taux annuel moyen est donc de 10 %.
Mathématiques · question corrigée
Un effectif baisse de 36 % en deux ans. Son taux d'évolution annuel moyen est de :
Voir la réponse
Réponse A. Le coefficient global vaut 0,64 et √0,64 = 0,8. Chaque année, l'effectif est multiplié par 0,8, ce qui correspond à une baisse de 20 %.
Questions fréquentes
Comment vérifier un taux moyen ?
Élève le coefficient moyen 1 + t à la puissance n. Tu dois retrouver le coefficient global, à l'arrondi près. Si ce n'est pas le cas, vérifie les parenthèses dans ta saisie.
Combien de décimales faut-il donner ?
Respecte la consigne de l'énoncé. À défaut, donne le taux en pourcentage arrondi à 0,01 %, en précisant que la valeur est approchée.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.