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Un exemple concret
Pour 2x² − 3x − 2 = 0 : Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. Comme Δ > 0, il y a deux solutions : x1 = (3 − 5) / 4 = −0,5 et x2 = (3 + 5) / 4 = 2.
Le piège à éviter
Avec b négatif, oublier les parenthèses fausse tout : (−3)² vaut 9, pas −9. De même, quand c est négatif, le terme −4ac devient positif ; vérifie toujours les signes avant de conclure.
Pour aller plus loin
Le discriminant vient de la forme canonique du trinôme : ax² + bx + c = a(x − α)² + β, avec α = −b / (2a) et β = −Δ / (4a). Si Δ > 0, les deux solutions sont x1 = (−b − √Δ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ) / (2a). Si Δ = 0, la solution unique est x0 = −b / (2a), qui est aussi l'abscisse du sommet de la parabole. Si Δ < 0, la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses.
Le discriminant sert aussi à factoriser et à étudier le signe. Quand Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2). Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Reprenons 2x² − 3x − 2 = 2(x + 0,5)(x − 2) : comme a = 2 > 0, le trinôme est négatif sur ]−0,5 ; 2[ et positif ailleurs. Quand Δ < 0, il garde le signe de a sur tout ℝ.
Ce calcul appartient au chapitre « second degré » de la spécialité de Première, et il sert ensuite partout : signe d'une dérivée de degré 2, positions relatives de courbes, équations du type e^(2x) − 3e^x + 2 = 0 en Terminale après le changement de variable X = e^x. Retiens aussi les relations entre coefficients et racines : x1 + x2 = −b / a et x1 × x2 = c / a. Elles permettent de trouver la seconde racine dès qu'une racine évidente est repérée. En voie technologique, on travaille surtout à partir de la forme factorisée a(x − x1)(x − x2).
Ne pas confondre
- Forme canonique : La forme canonique a(x − α)² + β est une écriture du trinôme ; le discriminant est un seul nombre qui en résume l'information sur les racines.
- Sommet de la parabole : Le sommet a pour abscisse −b / (2a) quel que soit Δ ; il ne coïncide avec une racine que lorsque Δ = 0.
Dans ta copie
Je cherche le signe de f'(x) = 3x² − 12x + 9 pour en déduire les variations de f. Je calcule le discriminant : Δ = (−12)² − 4 × 3 × 9 = 144 − 108 = 36. Comme Δ > 0, le trinôme a deux racines : x1 = (12 − 6) / 6 = 1 et x2 = (12 + 6) / 6 = 3. Le coefficient a = 3 est positif, donc f'(x) est positive sur ]−∞ ; 1] et sur [3 ; +∞[, et négative sur [1 ; 3]. La fonction f est donc croissante, puis décroissante, puis croissante.
À retenir
- Le discriminant d'un trinôme ax² + bx + c vaut Δ = b² − 4ac.
- Deux racines si Δ > 0, une racine double si Δ = 0, aucune racine réelle si Δ < 0.
- Les racines sont (−b − √Δ) / (2a) et (−b + √Δ) / (2a).
- Le trinôme est du signe de a, sauf entre ses deux racines.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Combien de solutions réelles l'équation x² + 2x + 5 = 0 admet-elle ?
Voir la réponse
Réponse B. Δ = 2² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16. Le discriminant est strictement négatif, donc l'équation n'a aucune solution réelle.
Mathématiques · question corrigée
Pour quelle valeur de c l'équation x² − 6x + c = 0 a-t-elle une unique solution ?
Voir la réponse
Réponse D. Il faut Δ = 0 : 36 − 4c = 0, donc c = 9. On vérifie : x² − 6x + 9 = (x − 3)², qui ne s'annule qu'en 3.
Questions fréquentes
Faut-il toujours calculer Δ pour résoudre une équation du second degré ?
Non. Si c = 0, on factorise par x ; si b = 0, on isole x². Le discriminant est la méthode générale, mais une factorisation directe est souvent plus rapide et plus sûre.
Que faire si Δ n'est pas un carré parfait ?
Garde la racine carrée dans le résultat exact, par exemple x = (1 + √5) / 2. Ne donne une valeur approchée que si l'énoncé la demande.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.