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Un exemple concret
Soit f(x) = x³ − 3x². On a f'(x) = 3x² − 6x et f''(x) = 6x − 6. f'' s'annule en changeant de signe en x = 1 : f est concave sur ]−∞ ; 1], convexe sur [1 ; +∞[, et A(1 ; −2) est un point d'inflexion.
Le piège à éviter
Ne confonds pas le signe de f' et celui de f'' : f' renseigne sur les variations, f'' sur la convexité. Une fonction peut être décroissante et convexe, comme x ↦ e^(−x).
Pour aller plus loin
Trois caractérisations équivalentes existent pour une fonction dérivable. La courbe est au-dessus de ses tangentes. La dérivée f' est croissante sur I. La courbe est en dessous de ses cordes, c'est-à-dire des segments qui joignent deux de ses points. En pratique, on étudie le signe de f'', la dérivée seconde. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente ; il apparaît là où f'' s'annule en changeant de signe.
Quelques profils sont à connaître. La fonction carré et la fonction exponentielle sont convexes sur ℝ. La fonction ln et la fonction racine carrée sont concaves sur leur ensemble de définition. La fonction cube est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[, avec un point d'inflexion à l'origine. Dans l'exemple f(x) = x³ − 3x², le point d'inflexion a pour ordonnée f(1) = 1 − 3 = −2, et la tangente en ce point a pour coefficient directeur f'(1) = 3 − 6 = −3.
La convexité sert surtout à démontrer des inégalités. La tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 a pour équation y = x + 1 ; comme l'exponentielle est convexe, sa courbe est au-dessus de cette tangente, donc e^x ≥ x + 1 pour tout réel x. De même, ln étant concave, ln(x) ≤ x − 1 pour tout x > 0. Ce chapitre de la spécialité de Terminale complète la dérivation et revient dans les études de fonctions complètes.
Ne pas confondre
- Sens de variation : Les variations dépendent du signe de f' ; la convexité dépend du signe de f''. Les deux études sont indépendantes.
- Extremum local : Un extremum se repère quand f' s'annule en changeant de signe ; un point d'inflexion, quand c'est f'' qui change de signe.
Dans ta copie
Pour étudier la convexité de f(x) = xe^x sur ℝ, je calcule la dérivée seconde. On a f'(x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x, puis f''(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x. Comme e^x est strictement positif, f''(x) a le signe de x + 2. La fonction f est donc concave sur ]−∞ ; −2] et convexe sur [−2 ; +∞[. Puisque f'' s'annule en changeant de signe en −2, la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse −2.
À retenir
- f est convexe quand sa courbe est au-dessus de ses tangentes.
- f'' ≥ 0 sur I signifie que f est convexe sur I.
- Un point d'inflexion apparaît quand f'' s'annule en changeant de signe.
- La convexité permet de prouver des inégalités comme e^x ≥ x + 1.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Si f''(x) = e^x × (x + 2), sur quel intervalle f est-elle convexe ?
Voir la réponse
Réponse C. e^x est toujours strictement positif, donc f''(x) a le signe de x + 2, positif ou nul pour x ≥ −2.
Mathématiques · question corrigée
Un point d'inflexion est un point où la courbe :
Voir la réponse
Réponse A. En un point d'inflexion, la convexité change, et la courbe passe d'un côté à l'autre de sa tangente. La tangente n'y est pas forcément horizontale.
Questions fréquentes
Suffit-il que f''(a) = 0 pour avoir un point d'inflexion ?
Non. Il faut que f'' change de signe en a. Pour f(x) = x⁴, f''(0) = 0 mais f'' reste positive : la fonction est convexe partout et n'a pas de point d'inflexion.
Comment retenir convexe et concave ?
Une courbe convexe a la forme d'un creux, comme la parabole y = x², qui pourrait retenir de l'eau. Une courbe concave a la forme d'une bosse, comme y = −x².
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.