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Un exemple concret
Calculons l'intégrale de 0 à 2 de (3x² + 1) dx. Une primitive est F(x) = x³ + x. On obtient F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10. L'aire sous la courbe entre 0 et 2 mesure donc 10 unités d'aire.
Le piège à éviter
Si f est négative sur l'intervalle, l'intégrale est négative et vaut l'opposé de l'aire. Pour calculer une aire quand f change de signe, il faut découper l'intervalle selon le signe de f.
Pour aller plus loin
L'unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unitaires du repère. Quand f est continue et positive, l'intégrale de a à b de f(x) dx mesure l'aire sous la courbe ; la lettre x est muette et pourrait être remplacée par t. Pour une fonction de signe quelconque, on définit l'intégrale par F(b) − F(a), qu'on note aussi [F(x)] entre a et b. Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie, car la constante k disparaît dans la différence.
Plusieurs propriétés simplifient les calculs : la linéarité, qui permet d'intégrer terme à terme ; la relation de Chasles, qui découpe un intervalle en morceaux ; la positivité, puisque si f ≥ 0 sur [a ; b] avec a ≤ b, l'intégrale est positive. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est μ = 1/(b − a) × intégrale de a à b de f. Calcul détaillé d'une aire entre deux courbes : sur [0 ; 1], on a x ≥ x², donc l'aire comprise entre y = x et y = x² vaut l'intégrale de 0 à 1 de (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 unité d'aire.
Le calcul intégral conclut l'analyse en spécialité de Terminale. On y découvre aussi l'intégration par parties, utile pour des produits comme x × e^x, et la fonction x ↦ intégrale de a à x de f(t) dt, qui est la primitive de f s'annulant en a. Dans les sujets, l'intégrale sert à calculer des aires, des valeurs moyennes, ou à encadrer les termes d'une suite définie par une intégrale.
Ne pas confondre
- Primitive : La primitive est une fonction définie à une constante près ; l'intégrale entre a et b est un nombre réel unique.
- Aire : Une aire est toujours positive ; une intégrale peut être négative quand la fonction est sous l'axe des abscisses.
Dans ta copie
Je calcule l'aire du domaine compris entre la courbe de f(x) = e^x, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 1. La fonction exponentielle est continue et strictement positive sur [0 ; 1], donc cette aire est égale à l'intégrale de 0 à 1 de e^x dx. Une primitive de e^x est e^x, donc l'intégrale vaut e¹ − e⁰ = e − 1. L'aire cherchée mesure e − 1 unités d'aire, soit environ 1,72 unité d'aire.
À retenir
- L'intégrale de a à b de f vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
- Pour f continue et positive, l'intégrale mesure une aire en unités d'aire.
- La relation de Chasles permet de découper l'intervalle d'intégration.
- La valeur moyenne de f sur [a ; b] est l'intégrale divisée par b − a.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Que vaut l'intégrale de 1 à e de (1/x) dx ?
Voir la réponse
Réponse A. Une primitive de 1/x est ln(x), donc l'intégrale vaut ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1.
Mathématiques · question corrigée
Quelle est la valeur moyenne de f(x) = 2x sur l'intervalle [0 ; 4] ?
Voir la réponse
Réponse C. L'intégrale de 0 à 4 de 2x dx vaut 4² − 0² = 16 ; on divise par la longueur 4 − 0 = 4 et on obtient 4.
Questions fréquentes
Faut-il écrire « u.a. » dans la réponse ?
Oui, quand on demande une aire, précise l'unité : unités d'aire, ou cm² si l'énoncé donne la taille des unités du repère. Pour une simple intégrale, le résultat est un nombre sans unité.
Une intégrale peut-elle être nulle sans que f soit nulle ?
Oui. L'intégrale de −1 à 1 de x dx vaut 0, car les parties positive et négative se compensent. C'est pour cela qu'une intégrale ne donne une aire que si f garde un signe constant.
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.