Sur cette page
Un exemple concret
Pour f(x) = 6x² − 4x + 1, une primitive est F(x) = 2x³ − 2x² + x. Celle qui vérifie F(1) = 5 s'obtient avec 2 − 2 + 1 + k = 5, d'où k = 4 : F(x) = 2x³ − 2x² + x + 4.
Le piège à éviter
Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse de la dérivation. Pour vérifier, dérive ta réponse : tu dois retrouver exactement f. Et n'oublie pas la constante k dès qu'une condition initiale est imposée.
Pour aller plus loin
Le tableau des primitives usuelles se lit à l'envers de celui des dérivées. Une primitive de x^n, pour n entier différent de −1, est x^(n+1) / (n + 1). Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln(x). Une primitive de e^x est e^x. Une primitive de cos(x) est sin(x), et une primitive de sin(x) est −cos(x). On primitive une somme terme à terme, et un facteur constant se conserve.
Les formes composées sont les plus demandées. Si u est dérivable sur I, une primitive de u' × e^u est e^u ; une primitive de u' / u, avec u > 0, est ln(u) ; une primitive de u' × u^n est u^(n+1) / (n + 1). Exemple détaillé : pour f(x) = 2x / (x² + 1), on pose u(x) = x² + 1, qui est strictement positive et dont la dérivée vaut 2x. La fonction f est de la forme u'/u, donc F(x) = ln(x² + 1). Vérification : F'(x) = 2x / (x² + 1).
Les primitives forment un chapitre de la spécialité de Terminale, lié aux équations différentielles et au calcul intégral. Résoudre l'équation y' = f revient exactement à chercher les primitives de f. Pour y' = ay + b avec a non nul, les solutions sont les fonctions x ↦ Ce^(ax) − b/a, où C est un réel. Enfin, le théorème fondamental relie les deux notions : si f est continue, l'intégrale de a à b de f se calcule par F(b) − F(a), où F est n'importe quelle primitive de f.
Ne pas confondre
- Dérivée : La dérivée de F est unique ; une fonction possède au contraire une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.
- Intégrale : Une primitive est une fonction ; une intégrale entre deux bornes est un nombre, qu'on calcule grâce à une primitive.
Dans ta copie
Je cherche la primitive F de f(x) = 3x² + 2e^x sur ℝ qui vérifie F(0) = 4. Une primitive de 3x² est x³ et une primitive de 2e^x est 2e^x. Les primitives de f sont donc les fonctions F(x) = x³ + 2e^x + k, avec k réel. La condition F(0) = 4 donne 0 + 2 × 1 + k = 4, d'où k = 2. La primitive cherchée est F(x) = x³ + 2e^x + 2. Je vérifie en dérivant : F'(x) = 3x² + 2e^x, qui est bien égal à f(x).
À retenir
- F est une primitive de f sur I quand F' = f sur I.
- Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
- Une condition comme F(0) = 4 fixe une primitive unique.
- On vérifie toujours une primitive en la dérivant.
Teste-toi
Mathématiques · question corrigée
Quelle fonction est une primitive de f(x) = e^(2x) sur ℝ ?
Voir la réponse
Réponse B. La dérivée de 0,5e^(2x) vaut 0,5 × 2e^(2x) = e^(2x). Le facteur 0,5 compense le 2 qui apparaît en dérivant.
Mathématiques · question corrigée
Quelle fonction est une primitive de f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[ ?
Voir la réponse
Réponse D. La dérivée de ln(x) est 1/x sur ]0 ; +∞[. La fonction −1/x² est au contraire la dérivée de 1/x.
Questions fréquentes
Toutes les fonctions ont-elles une primitive ?
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, c'est un théorème du programme. En revanche, on ne sait pas toujours les écrire avec les fonctions usuelles : au bac, les fonctions proposées sont choisies pour que ce soit possible.
Comment repérer la forme u'/u ?
Regarde si le numérateur ressemble à la dérivée du dénominateur, à un facteur constant près. Pour x / (x² + 1), le numérateur est la moitié de 2x, donc une primitive est ½ ln(x² + 1).
Notions liées
Pour réviser tout le chapitre, va sur la page Mathématiques, ou retrouve toutes les définitions dans le lexique du bac. Dans l'application, les quiz reprennent ces notions sur le programme de ta série.